Прежде чем доказать вспомним несколько теорем математического анализа.
1. Если существует \(\int\limits_a^b|s(t)|dt\), то существует также \(\int\limits_a^bs(t)dt\) и \(\left|\int\limits_a^bs(t)dt\right|\leq \int\limits_a^b|s(t)|dt\).
2. Обобщённая первая теорема о среднем: если \(f(t)\) и \(g(t)\) интегрируемы на \([a,b]\), \(f(t)\) ограничена и непрерывна, а \(g(t)\geq 0\), то существует  число \(\xi\in[a,b]\) такое, что \(\int\limits_a^bf(t)g(t)dt=f(\xi)\int\limits_a^bg(t)dt\).
3.\(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1,a>0\). Действительно, рассмотрим неравества Коши и обобщённое неравенство для среднего гармонического: $$\frac{1}{\frac{1}{n}\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}\right)}\leq\sqrt[n]{a_1,a_2,...,a_n}\leq \frac {a_1+a_2+...+a_n}{n},$$ где \(a_1,a_2,...,a_n\) положительны. Рассмотрим частный случай, когда \(a_1=a,a_2=1,...,a_n=1\), тогда $$\frac{1}{1+\frac{1}{n}\left(\frac{1}{a}-1\right)}\leq\sqrt[n]{a}\leq\frac {a+n-1}{n}=1+\frac {a-1}{n}.$$ Выполним предельный переход в неравенстве: $$1=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}\left(\frac{1}{a}-1\right)}\leq\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}\leq \lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac {a-1}{n}\right)=1.$$
4. Аналитической называется функция, которая может быть представлена своим степенным рядом (рядом Тейлора). Областью сходимости степенного ряда является круг. Радиус сходимости степенного ряда \(f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}C_nz^n\) можно определить по формуле  Коши-Адамара: $$R=\frac{1}{l},$$ где \(l=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|C_n|}\).
5. Следствие из теоремы единственности определения аналитической функции: если функции \(f_1(z)\) и \(f_2(z)\) аналитические в области \(D\) совпадают на некоторой кривой \(L\), принадлежащей этой области, то они тождественно равны в \(D\). В частности, если аналитическая на всей комплексной плоскости функция равна нулю на каком-нибудь конечном интервале действительной оси (на некотором отрезке совпадает с нулём), то она является тождественным нулём на всей комплексной плоскости.

Доказательство
При доказательстве сигнал полагаем абсолютно интегрируемым. Рассмотрим спектральную плотность сигнала ограниченной длительности $$S(\omega)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}s(t)e^{-j\omega t}dt=\int\limits_{a}^{b}s(t)e^{-j\omega t}dt,$$ где \([a,b]\) - интервал, на котором сигнал отличен от нуля. Представим экспоненту (аналитическую на всей комплесной плоскости) своим степенным рядом \(e^{-j\omega t}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}C_n(-j)^n\omega^nt^n\), где \(l=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|C_n|}=0\), тогда $$S(\omega)=\int\limits_{a}^{b}s(t)\sum\limits_{n=0}^{\infty}C_n(-j)^n\omega^nt^ndt=\sum\limits_{n=0}^{\infty}C_n(-j)^n\int\limits_{a}^{b}s(t)t^ndt\omega^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}C_n'\omega^n,$$ где \(C_n'=C_n(-j)^n\int\limits_{a}^{b}s(t)t^ndt\). Таким образом спектральная плотность сигнала может быть представлена степенным рядом.

Найдём радиус сходимости полученного степенного ряда по формуле Коши-Адамара. Для этого сначала рассмотрим \(|C_n'|\) и применим теоремы 1 и 2: $$|C_n'|=\left|C_n(-j)^n\int\limits_{a}^{b}s(t)t^ndt\right|=|C_n|\left|\int\limits_{a}^{b}s(t)t^ndt\right|\leq$$ $$\leq|C_n|\int\limits_{a}^{b}|s(t)||t|^ndt=|C_n||\xi_n|^n\int\limits_{a}^{b}|s(t)|dt,$$ где \(\xi_n\in[a,b]\). Очевидно, что \(|\xi_n|^n\int\limits_{a}^{b}|s(t)|dt\leq |c|^n\int\limits_{a}^{b}|s(t)|dt\), где \(c=max(|a|,|b|)\), поэтому $$|C_n'|\leq |C_n||c|^n\int\limits_{a}^{b}|s(t)|dt.$$ Теперь $$\sqrt[n]{|C_n'|}\leq \sqrt[n]{|C_n|}|c|\sqrt[n]{\int\limits_{a}^{b}|s(t)|dt}.$$ Выполним в полученном неравенстве предельный переход: $$l'=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|C_n'|}\leq \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|C_n|}|c|\sqrt[n]{\int\limits_{a}^{b}|s(t)|dt}.$$ Поскольку \(\int\limits_{a}^{b}|s(t)|dt>0\), ввиду теоремы 3 \(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\int\limits_{a}^{b}|s(t)|dt}=1\), поэтому $$l'=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|C_n'|}\leq |c|\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|C_n|}.$$ Но \(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|C_n|}=l=0\), таким образом \(0\leq l'\leq 0\), откуда \(l'=0\) и \(R'=\infty\).

Спектральная плотность сигнала ограниченной длительности является функцией аналитической на всей комплексной плоскости. Такая функция, будучи не тождественным нулём, не может совпадать с нулём ни на какой линии на комплексной плоскости, в частности не может совпадать с нулём ни на каком конечном отрезке действительной оси.

Заметим тут же, что ввиду свойства симметрии преобразования Фурье, мы можем утверждать, что сигнал с ограниченным спектром также является функцией аналитической на всей комплексной плоскости и неограничен во времени.