В геометрической интерпретации аргумент \(\varphi\) - это угол наклона вектора, изображающего комплексное число \(z=a+jb\), к действительной оси и определяется он системой уравнений $$\cos(\varphi)=\frac a {|z|}$$ $$\sin(\varphi)=\frac b {|z|}$$
Рассмотрим решение этой системы:
1) \(a>0,b>0\), то есть \(a=|a|,b=|b|\).

Тогда, (см.рисунок) аргумент $$\varphi_1=arctg\left(\frac b a\right)=arctg\left(\frac {|b|} {|a|}\right).$$
2) \(a<0,b>0\), то есть \(a=-|a|,b=|b|\).

Аргумент $$\varphi_2=\pi-\varphi_1=\pi-arctg\left(\frac {|b|}{|a|}\right)=\pi+arctg\left(-\frac {|b|}{|a|}\right)=\pi+arctg\left(\frac b a\right).$$
3) \(a<0,b<0\), то есть \(a=-|a|,b=-|b|\).

Если аргумент посчитать как просто арктангенс: $$\varphi_3=arctg\left(\frac b a\right)=arctg\left(\frac {|b|} {|a|}\right)=\varphi_1.$$ Из рисунка видно, что это не так, поскольку $$\varphi_3=\pi+\varphi_1=\pi+arctg\left(\frac b a\right).$$
4) \(a>0,b<0\), то есть \(a=|a|,b=-|b|\).

Аргумент $$\varphi_4=-\varphi_1=-arctg\left(\frac {|b|}{|a|}\right)=arctg\left(-\frac {|b|}{|a|}\right)=arctg\left(\frac b a\right).$$
Таким образом $$\arg(a+jb)=\left\{\begin{array}{l}arctg\left(\frac b a\right), a>0\\ \pi +arctg\left(\frac b a\right), a<0\end{array}\right.  =\frac {\pi}{2}(1-sign(a))+arctg\left(\frac b a\right)$$